Question

如圖，在直角坐標系中，四邊形OABC為正方形，頂點A、C在坐標軸上，以邊AB為弦的⊙M與x軸相切，M在雙曲線上，若A（0，8），則k=    ．

Answer 1

【答案】分析：由于M在雙曲線上，要求k的值，只需求出點M的坐標．為此，過點M作MD⊥x軸于D，延長DM交AB于E，過點M作MF⊥y軸于F，設⊙M與OA交于點G．先根據垂徑定理得出OD=OC=4，得出點M的橫坐標為-4，AF=FG=AG．再由切割線定理可知OD²=OG•OA，從而得出OG的長度，得出點M的縱坐標為5，最后運用待定系數法求出k的值．
解答：解：過點M作MD⊥x軸于D，延長DM交AB于E，過點M作MF⊥y軸于F，設⊙M與OA交于
點G．
∵四邊形OABC為正方形，
∴OC=OA=AB=8，OC∥AB，
又∵MD⊥OC，MF⊥AG，
∴MD⊥AB，
∴AE=BE=OD=4，AF=FG=AG．
∵OC是⊙M的切線，OA是⊙M的割線，
∴OD²=OG•OA，
∴16=8OG，
∴OG=2，
∴AG=OA-OG=8-2=6，
∴FG=3，OF=OG+FG=5．
∴點M的坐標為（-4，5），
∵M在雙曲線上，
∴k=-4×5=-20．
故答案為：-20．
點評：本題主要考查了垂徑定理，切割線定理及運用待定系數法求比例系數．