Question

如圖，在直角坐標系中，⊙P的圓心P在x軸上，⊙P與x軸交于點E、F，與y軸交于點C、D，且EO=1，CD=2

3

，又B、A兩點的坐標分別為（0，m）、（5，0）．
（1）當m=3時，求經過A、B兩點的直線解析式；
（2）當B點在y軸上運動時，若直線AB與⊙P保持相交，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把（0，3）、（5，0）分別代入y=kx+b，得到方程組，求解即可得到經過A、B兩點的直線解析式；
（2）假設當B點移到B'時，直線AB'與⊙P相切于點H，連接PH、PD，由EO=1，CD=2

3

，可求得半徑長為2，從而得出PH=2，AP=4，所以∠EAH=30°；由正切值可求出OB'，要使直線AB'與⊙P相交，使m的值小于OB'的值即可；同理求出OB''的值，使m的值大于OB''即可．

解答：解：（1）當m=3時，B的坐標為（0，3）．
設經過A、B兩點的直線解析式為y=kx+b，由題意得

b=3 5k+b=0

，
解得

k=- 3 5 b=3

，
∴經過A、B兩點的直線解析式為y=-

3

5

x+3；

（2）假設當B點移到B'時，直線AB'與⊙P相切于點H，連接PH、PD，設圓的半徑為x，
∵EO=1，CD=2

3

，
∴PD²=OD²+OP²，
即x²=（

3

）²+（x-1）²，解得x=2；
∵OA=5，
∴AP=OA-OP=5-1=4，
在Rt△APH中，PH=2，AP=4，
∴∠PAH=30°，
在Rt△AEB'中，OB'=tan30°×5=

5

3

3

；
同理OB''=-

5

3

3

，
∴若直線AB與⊙P保持相交，m的取值范圍是-

5

3

3

＜m＜

5

3

3

．

點評：此類題目是函數(shù)與圓的知識的綜合運用，難點在第（2）題，解決的根據是直線和圓相交?圓心到直線的距離小于圓的半徑．