Question

如圖是一塊含30°（即∠CAB=30°）角的三角板和一個量角器拼在一起，三角板斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合，其量角器最外緣的讀數是從N點開始（即N點的讀數為0），現有射線CP繞著點C從CA順時針以每秒2度的速度旋轉到與△ACB外接圓相切為止．在旋轉過程中，射線CP與量角器的半圓弧交于E．
（1）當射線CP與△ABC的外接圓相切時，求射線CP旋轉度數是多少？
（2）當射線CP分別經過△ABC的外心、內心時，點E處的讀數分別是多少？
（3）當旋轉7.5秒時，連接BE，求證：BE=CE．

Answer 1

（1）解：連接OC．
∵射線CP與△ABC的外接圓相切，
∴∠OCP=90°，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°，
∴射線CP旋轉度數是120°；

（2）解：∵∠BCA=90°，
∴△ABC的外接圓就是量角器所在的圓．
當CP過△ABC外心時（即過O點），∠BCE=60°，
∴∠BOE=120°，即E處的讀數為120，
當CP過△ABC的內心時，∠BCE=45°，∠EOB=90°，
∴E處的讀數為90．

（3）證明：在圖2中，
∵∠PCA=2×7.5°=15°，∠BCE=75°，∠ECA=∠EBA=15°，
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°，
∴BE=EC．
分析：（1）連接OC．根據切線的性質，得∠OCP=90°，根據等腰三角形的性質，得∠ACO=∠A，從而求得射線CP旋轉度數．
（2）當CP過△ABC外心時（即過O點）時，∠BCE=60°，根據圓周角定理，則點E處的讀數是120°；
當CP過△ABC的內心時，即CP平分∠ACB，則∠BCE=45°，根據圓周角定理，則點E處的讀數是90°．
（3）根據已知，知旋轉了15°，即可求得∠EBC=∠BCE=75°，從而證明結論．
點評：此題綜合運用了切線的性質、圓周角定理和等腰三角形的判定和性質．