Question

如圖是一塊含30°（即∠CAB=30°）角的三角板和一個量角器拼在一起，三角板斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合，其量角器最外緣的讀數是從N點開始（即N點的讀數為0），現有射線CP繞點C從CA方向順時針以每秒2度的速度旋轉到CB方向，在旋轉過程中，射線CP與量角器的半圓弧交于E．
（1）當射線CP分別經過△ABC的外心、內心時，點E處的讀數分別是多少？
（2）設旋轉x秒后，E點處的讀數為y度，求y與x的函數式．
（3）當旋轉7.5秒時，連接BE，求證：BE=CE．

Answer 1

【答案】分析：（1）CP過△ABC外心時（即過O點）時，∠BCE=60°，根據圓周角定理，則點E處的讀數是120°；當CP過△ABC的內心時，即CP平分∠ACB，則∠BCE=45°，根據圓周角定理，則點E處的讀數是90°．
（2）由于每次旋轉的度數一樣，所以旋轉x秒后，∠BCE的度數為90°-2x，從而得出∠BOE的度數，也即可得出y與x的函數式．
（3）根據已知，知旋轉了15°，即可求得∠EBC=∠BCE=75°，從而證明結論．
解答：解：（1）∵∠BCA=90°，
∴△ABC的外接圓就是量角器所在的圓，
當CP過△ABC外心時（即過O點），
∵∠CAB=30°，
∴∠BCE=60°，
∴∠BOE=120°，即E處的讀數為120，
當CP過△ABC的內心時，∠BCE=45°，∠EOB=90°，
∴E處的讀數為90．
（2）旋轉x秒后，∠BCE的度數為90-2x，∠BOE的度數為180°-4x，
故可得y與x的函數式為：y=180°-4x；
（3）在圖2中，當旋轉7.5秒時，∠PCA=2×7.5°=15°，∠ECA=∠EBA=15°，
則∠BCE=75°，
∵∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°，
∴BE=EC．
點評：此題屬于圓的綜合題，解答一次函數的應用問題中，要注意自變量的取值范圍還必須使實際問題有意義，且由每次旋轉的度數相等，由圖得出相等的角，并掌握量角器的用法和對含有30°三角板的運用．