Question

已知：AE是△ABC的外接圓的直徑，AD是△ABC的高
（1）求證：AC•AB=AE•AD；
（2）若AD=6，BD=8，CD=3，求直徑AE．

Answer 1

（1）證明：連接BE．
∵AE是直徑，AD⊥BC，
∴∠ABE=90°=∠ADC．
又∵∠E=∠C（同弧所對的圓周角相等），
∴△ABE∽△ADC．
∴=，
∴AC•AB=AE•AD．

（2）解：∵AD=6，BD=8，CD=3，
∴AB=10，AC=3．
∴10×3=6×AE，
∴AE=5．
分析：（1）即證AC：AE=AD：AB，證明它們所在的三角形相似．連接BE，則∠ABE=90°=∠ADC，∠E=∠D（同弧所對的圓周角相等）．所以△ABE∽△ADC．問題得證；
（2）根據勾股定理可求AB、AC的長，運用（1）的結論求解．
點評：此題考查了相似三角形的判定和性質．證明線段的乘積相等，通常轉換為比例式，證明線段所在的三角形相似．