Question

一個(gè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)為4，另兩邊長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²+2mx+1-2m=0的兩根，求此三角形的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：由于一個(gè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)為4，另兩邊長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²+2mx+1-2m=0的兩根，有兩種情況：
①當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，直接把x=4代入原方程即可求出m的值，然后求出方程的另一根，也就可以求出三角形的周長(zhǎng)；
②當(dāng)?shù)走厼?時(shí)，那么x的方程x²+2mx+1-2m=0的兩根是相等的，利用判別式為0即可求出m的值，然后就可以求出方程的解，也就可以求出三角形的周長(zhǎng)．

解答：解：∵一個(gè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)為4，另兩邊長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²+2mx+1-2m=0的兩根，
①當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，把x=4代入原方程得
16+8m+1-2m=0，
∴m=-

17

6

，
∴原方程變?yōu)椋簒²-

17

3

x+

20

3

=0，
設(shè)方程的另一個(gè)根為x，
則4+x=

17

3

，
∴x=

5

3

，
∴三角形的周長(zhǎng)為：4+4+

5

3

=

29

3

；
②當(dāng)?shù)走厼?時(shí)，那么x的方程x²+2mx+1-2m=0的兩根是相等的，
∴△=（2m）²-4（1-2m）=0，
∴m=-1+

2

或m=-1-

2

，
但是m=-1-

2

時(shí)方程的根為負(fù)數(shù)，而方程的根是線(xiàn)段長(zhǎng)度，不能為負(fù)，
∴m=-1+

2

，
∴方程變?yōu)閤²+2（-1-

2

）x+1-2（-1+

2

）=0，
∴方程的兩根相等為x₁=x₂=

2

+1，
∴三角形的周長(zhǎng)為4+2（

2

+1）=6+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的解的定義和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)得到方程的解，把方程的解代入原方程即可求出待定字母的取值即可解決問(wèn)題．