Question

如圖，Rt△APC的頂點A，P在反比例函數y=

1

x

的圖象上，已知P的坐標為（1，1），tanA=

1

n

（n≥2的自然數）；當n=2，3，4…2010時，A的橫坐標相應為a₂，a₃，a₄，…，a₂₀₁₀，則

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

+…+

1

a2010

=（　　）

• A、

  1

  2021054

• B、2021054
• C、2022060
• D、

  1

  2010

Answer 1

分析：設CP=m，由tanA=

CP

AC

=

1

n

得AC=mn，則A（1-m，1+mn），將A點坐標代入y=

1

x

中，得出a_n=1-m的表達式，尋找運算規律．

解答：解：依題意設CP=m，
∵P點橫坐標為1，則C點橫坐標為1-m，
即a_n=1-m，
又∵tanA=

CP

AC

=

1

n

，
∴AC=mn，則A（1-m，1+mn），
將A點坐標代入y=

1

x

中，得（1-m）（1+mn）=1，
1-m+mn-m²n=1，
m（n-1-mn）=0，
則n-1-mn=0，
1-m=

1

n

，
則a_n=1-m=

1

n

，即

1

an

=n，
∴

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

+…+

1

a2010

=2+3+4+…+2010
=

(2+2010)×2009

2

=2021054．
故選B．

點評：本題主要考查反比例函數的圖象和性質，關鍵是根據三角函數值設直角三角形的邊長，表示A點坐標，根據A點在雙曲線上，滿足反比例函數解析式，從而得出一般規律．