Question

如圖矩形紙片ABCD的邊長AB=a，BC=b（a＜b），點M、N分別為邊AD、BC上兩點（點A、C除外），連接MN．若對角線BD與MN交于點O，分別沿BM、DN折疊，折疊后點A、C恰好都落在點O處，并且得到的四邊形是菱形BNDM．
請你探索a、b之間的數量關系，并求出當a=

3

時，菱形BNDM的面積．

Answer 1

分析：根據翻折的性質可得OB=AB，OD=CD，然后求出BD=2a，再根據勾股定理列式整理即可得到a、b的關系式；
先判斷出∠ADB=30°，然后解直角三角形求出OM，再根據菱形的對角線互相平分求出MN的長，然后利用菱形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解．

解答：解：∵沿BM、DN折疊，折疊后點A、C恰好都落在點O處，
∴OB=AB，OD=CD，
∵矩形紙片的邊長AB=a，
∴BD=OB+OD=2AB=2a，
在Rt△ABD中，根據勾股定理，AD²+AB²=BD²，
即b²+a²=（2a）²，
整理得，b=

3

a；

∵BD=2a，AB=a，
∴∠ADB=30°，
∴OM=

3

3

OD=

3

3

a，
在菱形BNDM中，MN=2OM=

2 3

3

a，
∴菱形BNDM的面積=

1

2

BD•MN=

1

2

×2a•

2 3

3

a=

2 3

3

a²，
∵a=

3

，
∴菱形BNDM的面積=

2 3

3

×

3

²=2

3

．

點評：本題考查了矩形的性質，菱形的對角線互相垂直平分的性質，勾股定理的應用，翻折的性質，綜合題，但難度不大，熟練掌握各圖形的性質是解題的關鍵．