Question

如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，M為BC的中點，E、F分別為AB、CD邊上的動點，在點E、F運動的過程中始終保持△EMF為直角三角形，其中∠EMF=90°．則直角三角形的斜邊EF的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據同角的余角相等求出∠BME=∠CFM，然后求出△BME和△CFM相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出BE、CF的關系，過點E作EG⊥CD于G，表示出FG=CF-BE，然后根據勾股定理列式求出EF²，再根據CF的取值范圍確定出BE的長，然后求出EF²的取值范圍，從而得解．
解答：解：∵M為BC的中點，正方形ABCD的邊長為4，
∴BM=CM=2，
∵∠EMF=90°，
∴∠BME+∠CMF=90°，
∵∠CFM+∠CMF=90°，
∴∠BME=∠CFM，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△BME∽△CFM，
∴=，
∴BE•CF=BM•CM=2×2=4，
∵CF最大時為4，此時BE=1，BE最大時為4，此時CF=1，
∴0≤CF-BE≤3，
過點E作EG⊥CD于G，
則EG=BC=4，
在Rt△EFG中，EF²=EG²+FG²=16+（CF-BE）²，
∴16≤EF²≤16+9，
∴4≤EF≤5．
故答案為：4≤EF≤5．
點評：本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理的應用，要注意根據等式求出CF、BE的取值范圍，這也是本題的難點．