Question

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，AB為直徑，∠ABC=30°，CD⊥OC于C，ED⊥AB于F，
（1）判斷△DCE的形狀；
（2）設⊙O的半徑為1，且OF=，求證：△DCE≌△OCB．

Answer 1

解：（1）△DCE為等腰三角形，理由為：
∵∠ABC=30°，圓周角∠ABC與圓心角∠AOC都對，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
又∵OA=OC，
∴△OAC為等邊三角形，
∴∠OAC=∠OCA=60°，
∵OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠DCE=180°-90°-60°=30°，
又∵EF⊥AF，
∴∠AFE=90°，
∴∠E=180°-90°-60°=30°，
∴∠DCE=∠E，
∴DC=DE，
則△DCE為等腰三角形；

（2）∵OA=OB=1，OF=，
∴AF=AO+OF=1+=，OA=AC=OC=1，
在Rt△AEF中，∠E=30°，
∴AE=2AF=+1，
∴CE=AE-AC=+1-1=，
又∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠B=30°，
∴cos30°=，即BC=ABcos30°=，
∴CB=CE=，
在△OBC和△DCE中，
∵，
∴△OBC≌△DCE（ASA）．
分析：（1）△DCE為等腰三角形，理由為：根據同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，由圓周角∠ABC的度數，求出圓心角∠AOC的度數為60°，再由OA=OC，得到三角形OAC為等邊三角形，可得出三內角為60°，再由OC與CD垂直，根據垂直的定義得到∠OCD為直角，利用平角的定義求出∠DCE為30°，又EF垂直于AB，得到∠AFE為直角，由∠A為60°，得出∠E為30°，可得出∠DCE=∠E，根據等角對等邊可得出DC=DE，即三角形DCE為等腰三角形；
（2）由半徑為1及OF的長，根據AO+OF求出AF的長，在直角三角形AEF中，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，由AF的長得出AE的長，再由AE-AC求出CE的長，在直角三角形ABC中，由AB為直徑，∠B為30°，根據銳角三角函數定義求出BC的長，發現BC=CE，再由三角形BOC與三角形DCE都為底角為30°的等腰三角形，得到兩對底角相等，利用ASA可得出兩三角形全等．
點評：此題考查了切線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，圓周角定理，銳角三角函數定義，含30°直角三角形的性質，三角形的內角和定理，勾股定理，以及等邊三角形的判定與性質，利用了轉化及數形結合的思想，是一道綜合性較強的題．