Question

已知：如圖，△ABC中，∠A＞∠B，CR是∠ACB的平分線且交AB于R，AQ⊥CR，垂足為Q，P為AB的中點，求證：PQ=

1

2

（BC-AC）．

Answer 1

分析：本題可通過構建全等三角形來實現線段之間的轉換．
延長AQ與BC交于D．
根據∠ACQ=∠DCQ，CQ⊥AD，AC=CD，我們可得出△ACQ≌△DCQ．
那么AQ=QD，AC=CD． BC-AC=BC-CD=BD．那么只要證明BD=2PQ即可．
根據AQ=QD，P是AB中點，那么PQ就是三角形ABD的中位線，于是就得出了BD=2PQ，也就能求出所要證明的條件了．

解答：解：延長AQ與BC交于D．
∵CR是∠ACB的平分線，
∴∠ACQ=∠DCQ．
∵∠AQC=∠DQC=90°，CQ=CQ，
∴△ACQ≌△DCQ．（ASA）
∴AQ=QD，AC=CD，
∴BC-CD=BC-AC=BD．
∵P是AB的中點，且AQ=QD，
∴PQ是三角形ABD的中位線．
∴PQ=

1

2

BD．
∴PQ=

1

2

（BC-AC）．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定，本題中通過構建全等三角形來實現線段之間的轉換是解題的關鍵．