Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足為E．
（1）求證：BC=BD；
（2）若BC=15，AD=20，求AB和CD的長．

Answer 1

分析：（1）直接根據垂徑定理即可得出結論；
（2）先根據垂徑定理判斷出△ABD是直角三角形，再根據勾股定理求出AB的長，由

1

2

AB•DE=

1

2

AD•BD即可求出DE的長，再由CD=2DE即可得出結論．

解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴

BC

=

BD

，
∴BC=BD；

（2）解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AB=

AD2+BD2

=

202+152

=25，
∵

1

2

AB•DE=

1

2

AD•BD，
∴

1

2

×25×DE=

1

2

×20×15．
∴DE=12．
∵AB為⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴CD=2DE=2×12=24．

點評：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，熟知垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧是解答此題的關鍵．