Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=3，AB=5，過點A作AD⊥AB交BC的延長線于點D．動點P從點B出發以每秒3個單位的速度沿B-A-D方向向終點D運動，另一動點Q從點A出發以每秒2個單位的速度沿A-C-B方向向終點B運動，連接PQ．若P、Q兩點同時出發，當其中一點到達終點，則另一點也立即停止運動．設動點運動的時間為t秒．
（1）求線段AD的長；
（2）當點Q在線段AC上時，求△APQ的面積S關于t的函數關系式并寫出自變量t的取值范圍；
（3）請探索：在整個運動過程中，是否存在某一時刻t，使得直線PQ與△ABC的一邊平行？若存在，請求出所有滿足條件t的值；若不存在，請說明理由；
（4）當t=______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據勾股定理求得BC=4；然后利用相似三角形△ADC∽△BAC的對應邊成比例知=，由此可以求得線段的長度；
（2）作輔助線PM（過點P作PM⊥AC于點M）構建平行線PM∥BC，然后利用平行線截線段成比例知=，即PM=（5-3t），最后由三角形的面積公式即可列出△APQ的面積S關于t的函數關系式；
（3）需要分類討論：當PQ∥BC、PQ∥AC以及PQ∥AB時，由平行線截線段成比例列出比例式，即可求得相應的t值；
（4）①當點P與點D重合、點Q在線段BC上時，點P、Q、D恰好在同一條直線上；②如圖5，當點P在線段AB上，點Q在線段AC上時，點P、Q、D恰好在同一條直線上．
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，AB=5，
∴BC=4（勾股定理）；
又∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°．
∵∠D+∠CAD=90°，∠CAD+∠BAC=90°，
∴∠D=∠BAC（等量代換），
又∵∠ACD=∠BCA=90°，
∴△ADC∽△BAC，
∴=（相似三角形的對應邊成比例），即=，
∴AD=；

（2）如圖1，過點P作PM⊥AC于點M．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴PM∥BC，
∴=（平行線截線段成比例）．
∵BC=4，AP=5-3t，AB=5，
∴PM=（5-3t），
∴S=AQ•PM=×2t×（5-3t）=-t²+4t（0≤t≤）；

（3）存在，有三種情況：
如圖2，當0≤t≤時，令PQ∥BC，得=，解得t=；
如圖3，當＜t≤時，令PQ∥AC，得=，解得t=；
如圖4，當＜t＜時，令PQ∥AB，得=，解得，t=；
綜上所述，當t=或或時，直線PQ與△ABC的一邊平行．

（4）當點P與點D重合、點Q在線段BC上時，點P、Q、D恰好在同一條直線上，
此時t===．
如圖5，當點P在線段AB上，點Q在線段AC上時，點P、Q、D恰好在同一條直線上．
過點P作PM⊥BC于點M．則QC∥PM．
∵sin∠B==，即=，解得PM=；
cos∠B==，即=，解得BM=．
∵△ADC∽△BAC，
∴=，即=，解得CD=，
∴DM=CD+BC-BM=-．
∵QC∥PM，
∴=（平行線分線段成比例），即=，解得t=．
則t=或 ．
故答案是：或 ．
點評：本題考查了相似綜合題：相似三角形的判定與性質、勾股定理、平行線截線段成比例等知識點的綜合運用．