Question

如圖，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中點(diǎn)E，連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使DF=AD，連接BC、BF．
（1）求證：△CBE∽△AFB；
（2）當(dāng)時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理證明CD∥BF，從而得到∠ADC=∠F．根據(jù)圓周角定理的推論得到∠CBE=∠ADE；可得到∠CBE=∠F．再根據(jù)圓周角定理的推論得到∠C=∠A；根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，證明兩個(gè)三角形相似；
（2）根據(jù)（1）中的相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例以及AF=2AD，可求得的值．
解答：（1）證明：∵AE=EB，AD=DF，
∴ED是△ABF的中位線(xiàn)，
∴ED∥BF，
∴∠CEB=∠ABF，
又∵∠C=∠A，
∴△CBE∽△AFB．

（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，
∴，
又AF=2AD，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角形中位線(xiàn)定理、平行線(xiàn)的性質(zhì)、圓周角定理的推論以及相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)．