Question

（1）探索：如果把一個多面體的頂點數記為V，棱數記為E，面數記為F，填寫下表．

多面體	V	F	E	V+F-E
四面體
長方體
五棱柱

（2）猜想：由上面的探究你能得到一個什么結論？
（3）驗證：再找出一個多面體，數一數它有幾個頂點，幾條棱，幾個面，看看面數、頂點數、棱數是否滿足上述關系．
（4）應用（2）的結論對所有的多面體都成立，偉大的數學家歐拉證明了這個關系式，上述關系式叫做歐拉公式．根據歐拉公式，想一想會不會有一個多面體，它有10個面，30條棱，20個頂點？

Answer 1

（1）

多面體	V	F	E	V+F-E
四面體	4	4	6	2
長方體	8	6	12	2
五棱柱	10	7	15	2

（2）V+F-E=2；

（3）例如六棱柱，有頂點數為12，面數為8，棱數為18，12+8-18=2符合上述關系，所以滿足；

（4）∵不滿足歐拉公式，∴不可能．
分析：（1）四面體為三棱錐，頂點數為4，面數為4，棱數為6，V+F-E=2；長方體的頂點數為8，面數為6，棱數為12，V+F-E=2；五棱柱的頂點數為10，面數為7，棱數為15，V+F-E=2；
（2）由（1）可得V+F-E為一個定值，恒為2；
（3）例如六棱柱，有頂點數為12，面數為8，棱數為18，12+8-18=2符合上述關系；
（4）10+20-30不等于2，所以不會有．
點評：本題考查幾何體面數，頂點數，棱數之間的關系．