Question

如圖：菱形ABCD中，E是AB的中點，且DE⊥AB，AB=a．求：
（1）∠ABC的度數；
（2）對角線AC的長；
（3）菱形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：①連接BD，可證△ABD是等邊三角形，進而得出∠ABC=120°；②可根據勾股定理先求得AC的一半，再求AC的長；③根據菱形的面積公式：兩條對角線的積的一半，計算即可．
解答：解：（1）連接BD，
∵E是AB的中點，且DE⊥AB，
∴AD=BD（等腰三角形三線合一逆定理）
又∵AD=AB，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠ABD=60°．
∴∠ABC=120°（菱形的對角線互相垂直平分，且每一條對角線平分一組對角）．

（2）設AC與BD相交于O
∴OB=．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=AB=a，
根據勾股定理可得OC==，
∴AC=．

（3）菱形ABCD的面積=a×a×=．
點評：本題考查了菱形的性質、勾股定理和等邊三角形的判定．