Question

如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為2的一個定點，AC⊥x軸于點M，交直線y=﹣x于點N．若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動．求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是　　．

Answer 1

考點：

一次函數綜合題．

分析：

（1）首先，需要證明線段B₀B_n就是點B運動的路徑（或軌跡），如答圖②所示．利用相似三角形可以證明；

（2）其次，如答圖①所示，利用相似三角形△AB₀B_n∽△AON，求出線段B₀B_n的長度，即點B運動的路徑長．

解答：

解：由題意可知，OM=，點N在直線y=﹣x上，AC⊥x軸于點M，則△OMN為等腰直角三角形，ON=OM=×=．

如答圖①所示，設動點P在O點（起點）時，點B的位置為B₀，動點P在N點（起點）時，點B的位置為B_n，連接B₀B_n．

∵AO⊥AB₀，AN⊥AB_n，∴∠OAC=∠B₀AB_n，

又∵AB₀=AO•tan30°，AB_n=AN•tan30°，∴AB₀：AO=AB_n：AN=tan30°，

∴△AB₀B_n∽△AON，且相似比為tan30°，

∴B₀B_n=ON•tan30°=×=．

現在來證明線段B₀B_n就是點B運動的路徑（或軌跡）．

如答圖②所示，當點P運動至ON上的任一點時，設其對應的點B為B_i，連接AP，AB_i，B₀B_i．

∵AO⊥AB₀，AP⊥AB_i，∴∠OAP=∠B₀AB_i，

又∵AB₀=AO•tan30°，AB_i=AP•tan30°，∴AB₀：AO=AB_i：AP，

∴△AB₀B_i∽△AOP，∴∠AB₀B_i=∠AOP．

又∵△AB₀B_n∽△AON，∴∠AB₀B_n=∠AOP，

∴∠AB₀B_i=∠AB₀B_n，

∴點B_i在線段B₀B_n上，即線段B₀B_n就是點B運動的路徑（或軌跡）．

綜上所述，點B運動的路徑（或軌跡）是線段B₀B_n，其長度為．

故答案為：．

點評：

本題考查坐標平面內由相似關系確定的點的運動軌跡，難度很大．本題的要點有兩個：首先，確定點B的運動路徑是本題的核心，這要求考生有很好的空間想象能力和分析問題的能力；其次，由相似關系求出點B運動路徑的長度，可以大幅簡化計算，避免陷入坐標關系的復雜運算之中．