Question

如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為的一個定點，AC⊥x軸于點M，交直線y=－x于點N．若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動．求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是　 　．

 

Answer 1

【答案】

。

【解析】首先，需要找出點B運動的路徑（或軌跡），其次，才是求出路徑長。由題意可知，OM=，點N在直線y=－x上，AC⊥x軸于點M，則△OMN為等腰直角三角形，∴ ON=。如圖①所示，

設動點P在O點（起點）時，點B的位置為B₀，動點P在N點（起點）時，點B的位置為B_n，連接B₀B_n．

∵AO⊥AB₀，AN⊥AB_n，∴∠OAC=∠B₀AB_n。

又∵AB₀=AO?tan30°，AB_n=AN?tan30°，

∴AB₀：AO=AB_n：AN=tan30°。

∴△AB₀B_n∽△AON，且相似比為tan30°。

∴B₀B_n=ON?tan30°=。

現在來證明線段B₀B_n就是點B運動的路徑（或軌跡）：

如圖②所示，

當點P運動至ON上的任一點時，設其對應的點B為B_i，連接AP，AB_i，B₀B_i。

∵AO⊥AB₀，AP⊥AB_i，∴∠OAP=∠B₀AB_i。

又∵AB₀=AO?tan30°，AB_i=AP?tan30°，∴AB₀：AO=AB_i：AP。

∴△AB₀B_i∽△AOP，∴∠AB₀B_i=∠AOP。

又∵△AB₀B_n∽△AON，∴∠AB₀B_n=∠AOP。

∴∠AB₀B_i=∠AB₀B_n。

∴點B_i在線段B₀B_n上，即線段B₀B_n就是點B運動的路徑（或軌跡）。

綜上所述，點B運動的路徑（或軌跡）是線段B₀B_n，其長度為。