Question

（2005•遂寧）如圖，CA和CB都是⊙O的切線，切點分別為A、B，連接OC交弦AB于點D已知⊙O的半徑為4，弦AB=
（1）求證：OC垂直平分AB；
（2）求劣弧的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線長定理可知CA=CB，∠ACO=∠BCO，結合等腰三角形三線合一的性質可知OC垂直平分AB；
（2）根據垂徑定理可知BD的長度，利用三角函數sin∠BOD=，可求∠BOD=60°即∠AOB=120°，再利用弧長公式求解即可．
解答：（1）證明：∵CA、CB是圓O的切線，
∴CA=CB，∠ACO=∠BCO．
∴OC垂直平分AB．

（2）解：連接OA、OB；
由（1）知，OD⊥AB，AB=4；
∴BD=2；
在Rt△OBD中，sin∠BOD=，
∴∠BOD=60°；
∴∠AOB=120°；
∴劣弧的長==π．
點評：此題主要考查線段垂直平分線的性質在圓中的運用．本題要掌握的知識點是切線長定理、垂徑定理、銳角三角函數等相關知識．