Question

如圖，在直角坐標系中，拋物線與坐標軸分別交于A（0，3），B（

3

，0），C（3

3

，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切于點E，請判斷拋物線的對稱軸與⊙C有怎樣的位置關系，并給出證明；
（3）已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間，問：當點P運動到什么位置時，△PAC的面積最大？并求出此時P點的坐標和△PAC的最大面積．

Answer 1

分析：（1）直接將點A（0，3），B（

3

，0），C（3

3

，0）代入y=ax²+bx+c，求出a，b，c的值求出即可；
（2）首先過點C作CE⊥BD，垂足為E，證明△OAB≌△EBC，即可得出CE=OB=

3

，再利用拋物線的對稱軸，即可得出拋物線的對稱軸與⊙C的位置關系；
（3）過點P作x軸的垂線，交AC于點P′，首先求出PP′的最值，進而得出，△PAC的面積最大值，進而得出P點坐標．

解答：解：（1）設y=ax²+bx+c（a≠0），
將點A（0，3），B（

3

，0），C（3

3

，0）代入得：

c=3 3a+ 3 b+c=0 27a+3 3 b+c=0

，
解得：

a= 1 3 b=- 4 3 3 c=3

，
故二次函數解析式為：y=

1

3

x2-

4

3

3

x+3；

（2）拋物線的對稱軸與⊙C相切；
理由：如圖1，過點C作CE⊥BD，垂足為E，
在Rt△OAB中，
∵OB=

3

，OA=3，OC=3

3

∴AB=2

3

，BC=2

3

，
∴AB=BC，
又∵∠ABD=90°，
∴∠OBA+∠EBC=90°，
又∵∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠EBC，
在△OAB和△EBC中，

∠AOB=∠BEC ∠OAB=∠EBC AB=BC

，
∴△OAB≌△EBC（AAS），
∴CE=OB=

3

；
∵拋物線的對稱軸為：x=2

3

，
∴點C到對稱軸的距離為：

3

，
∴拋物線的對稱軸與⊙C相切；

（3）設AC為y=kx+b′
將A（0，3），C（3

3

，0）代入得：

b′=3 3 3 k+b′=0

，
解得：

k=- 3 3 b′=3

，
∴AC所在直線解析式為：y=-

3

3

x+3，
如圖2，過點P作x軸的垂線，交AC于點P′，連接AP，PC，
則PP′=-

3

3

x+3-

1

3

x²+

4

3

3

x-3
=-

1

3

x²+

3

x
=-

1

3

（x-

3 3

2

）²+

9

4

，
∴當x=

3 3

2

時，△PAC的面積最大，最大值為：

1

2

×PP′×CO=

27 3

8

，
當x=

3 3

2

時，y=

1

3

x²-

4

3

3

x+3=-

3

4

，
此時，點P坐標為（

3 3

2

，-

3

4

）．

點評：此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式以及待定系數法求一次函數解析式和二次函數最值求法等知識，根據數形結合得出PP′的最值是解題關鍵．