Question

課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DE＝AD，再連結BE(或將△ACD繞點D逆時針旋轉180°得到△EBD)，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．

感悟：解題時，條件中若出現“中點”“中線”字樣，可以考慮構造以中點為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．

(2)問題解決：

受到(1)的啟發，請你證明下面命題：如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連結EF．

①求證：BE＋CF＞EF

②若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關系，并加以證明．

(3)問題拓展：

如圖，在四邊形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點，連結EF，探索線段BE、CF、EF之間的數量關系，并加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

證明：①延長FD到G，使得DG＝DF，連接BG、EG． 　　(或把△CFD繞點D逆時針旋轉180°得到△BGD) 　　∴CF＝BG　DF＝DG 　　∵DE⊥DF 　　∴EF＝EG 　　在△BEG中，BE＋BG＞EG；即BE＋CF＞EF(4分) 　　②若∠A＝90°則∠EBC＋∠FCB＝90° 　　由①知∠FCD＝∠DBG 　　EF＝EG 　　∴∠EBC＋∠DBG＝90°即∠EBG＝90° 　　∴在Rt△EBG中，BE2＋BG2＝EG2 　　∴BE2＋CF2＝EF2(3分) 　　(2)將△DCF繞點D逆時針旋轉120°得到△DBG. 　　∵∠C＋∠ABD＝180°　∠4＝∠C 　　∴∠4＋∠ABD＝180° 　　∴點E、B、G在同一直線上 　　∵∠3＝∠1，∠BDC＝120°，∠EDF＝60° 　　∴∠1＋∠2＝60°故∠2＋∠3＝60°即∠EDG＝60° 　　∴∠EDF＝∠EDG＝60° 　　∵DE＝DE，DF＝DG 　　∴△DEG≌△DEF 　　∴EF＝EG＝BE＋BG，即EF＝BE＋CF(4分)