Question

在課外興趣小組活動時，劉老師給出了如下問題：
如圖（1），已知四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B與∠D互補，求證：AB+AD=

3

AC．
小敏反復探索，不得其解．她想，若將四邊形ABCD特殊化，看如何解決該問題．
（1）從特殊情況入手，添加條件“∠B=∠D”，如圖（2），可證：AB+AD=

3

AC．請你完成此證明．
（2）類比（1）的問題的解決方法，在圖（1）證明AB+AD=

3

AC．

Answer 1

分析：（1）如果：“∠B=∠D”，根據∠B與∠D互補，那么∠B=∠D=90°，又因為∠DAC=∠BAC=30°，因此我們可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=

3

2

AC，那么AD+AB=

3

AC．
（2）按（1）的思路，作好輔助線后，我們只要證明△CDF與△CBE全等即可得到（1）的條件．根據AAS可證兩三角形全等，DF=BE．然后按照（1）的解法進行計算即可．

解答：（1）證明：在題圖（2）中，
∵∠B=∠D，且∠B與∠D互補，
∴∠B=∠D=90°．
又∵AC平分∠DAB，∠DAB=60°，
∴∠CAB=∠CAD=30°，
∴AB=AC×cos∠CAB=

3

2

AC，
AD=AC×cos∠CAD=

3

2

AC，
∴AB+AD=

3

AC．

（2）證明：如圖，過C點分別作AB、AD的垂線，垂足分別為E、F．

由（1）知，AE+AF=

3

AC．
∵AC為∠BAD的平分線，CF⊥AD，CE⊥AB，
∴∠CFD=∠CEB，CE=CF．
而∠ABC與∠D互補，∠ABC與∠CBE也互補，
∴∠D=∠CBE，
在△CDF與△CBE中，

∠D=∠CBE ∠CFD=∠CEB CE=CF

∴△CDF與△CBE（AAS），
∴DF=BE，
∴AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=

3

AC．

點評：本題考查了由特殊到一般的探究能力．通過對特殊問題解法的類比、發散聯想，進行創造性思維，從而延伸到一般問題的解題方法．解本題的關鍵是將（1）中的做法應用到（2）中時恰當添加輔助線．