Question

如圖，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．動點P從點A出發，沿y軸以每秒1個單位長的速度向上移動，且過點P的直線l：y=-x+b也隨之移動，設移動時間為t秒．
（1）當t=3時，求l的解析式；
（2）若點M，N位于l的異側，確定t的取值范圍；
（3）直接寫出t為何值時，點M關于l的對稱點落在坐標軸上．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征，求出一次函數的解析式；
（2）分別求出直線l經過點M、點N時的t值，即可得到t的取值范圍；
（3）找出點M關于直線l在坐標軸上的對稱點E、F，如解答圖所示．求出點E、F的坐標，然后分別求出ME、MF中點坐標，最后分別求出時間t的值．
解答：解：（1）直線y=-x+b交y軸于點P（0，b），
由題意，得b＞0，t≥0，b=1+t．
當t=3時，b=4，
故y=-x+4．

（2）當直線y=-x+b過點M（3，2）時，
2=-3+b，
解得：b=5，
5=1+t，
解得t=4．
當直線y=-x+b過點N（4，4）時，
4=-4+b，
解得：b=8，
8=1+t，
解得t=7．
故若點M，N位于l的異側，t的取值范圍是：4＜t＜7．

（3）如右圖，過點M作MF⊥直線l，交y軸于點F，交x軸于點E，則點E、F為點M在坐標軸上的對稱點．
過點M作MD⊥x軸于點D，則OD=3，MD=2．
已知∠MED=∠OEF=45°，則△MDE與△OEF均為等腰直角三角形，
∴DE=MD=2，OE=OF=1，
∴E（1，0），F（0，-1）．
∵M（3，2），F（0，-1），
∴線段MF中點坐標為（，）．
直線y=-x+b過點（，），則=-+b，解得：b=2，
2=1+t，
解得t=1．
∵M（3，2），E（1，0），
∴線段ME中點坐標為（2，1）．
直線y=-x+b過點（2，1），則1=-2+b，解得：b=3，
3=1+t，
解得t=2．
故點M關于l的對稱點，當t=1時，落在y軸上，當t=2時，落在x軸上．
點評：本題是動線型問題，考查了坐標平面內一次函數的圖象與性質．難點在于第（3）問，首先注意在x軸、y軸上均有點M的對稱點，不要漏解；其次注意點E、F坐標以及線段中點坐標的求法．