Question

如圖，已知拋物線與x軸交于點A（-2，0），B（4，0），與y軸交于點C（0，8），
（1）試求拋物線的解析式；
（2）設點D是該拋物線的頂點，試求直線CD的解析式；
（3）若直線CD交x軸于點E，過點B作x軸的垂線，交直線CD于點F，將拋物線沿其對稱軸上、下平移，使拋物線與線段EF總有公共點．試探究：拋物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個單位長度？

Answer 1

分析：（1）設出交點式，把點C坐標代入即可求解；
（2）設出直線解析式，把C，D兩點坐標代入即可求解；
（3）向上平移時，把點E，F坐標代入設出的函數解析式求得最大范圍即可；向下平移時，設出相應的二次函數解析式，與直線解析式組成方程組，讓判別式為非負數求值即可．

解答：解：（1）拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-4），
∵拋物線與y軸交于點C（0，8），
∴-8a=8，解得a=-1，
∴y=-x²+2x+8；

（2）∵y=-x²+2x+8，
∴頂點坐標為（1，9），
設過CD的解析式為y=kx+b，
∴b=8，k+8=9，
解得k=1，
∴過CD的解析式為y=x+8；
若直線CD交x軸于點E，過點B作x軸的垂線，交直線CD于點F，將拋物線沿其對稱軸上、下平移，使拋物線與線段EF總有公共點．試探究：拋物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個單位長度？
（3）由上求得E（-8，0），F（4，12）．
①若拋物線向上平移，可設解析式為y=-x²+2x+8+m（m＞0）．
當x=-8時，y=-72+m．
當x=4時，y=m．
∴-72+m≤0或m≤12．
∴0＜m≤72．
②若拋物線向下移，可設解析式為y=-x²+2x+8-m（m＞0）．
由

y=-x2+2x+8-m y=x+8

，
有x²-x+m=0．
∴△=1-4m≥0，
∴0＜m≤

1

4

．
∴向上最多可平移72個單位長，向下最多可平移

1

4

個單位長．

點評：過拋物線的三點里面有2個是與x軸的交點時，設出交點式計算比較簡便；拋物線上下平移只改變常數項．