Question

在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的動點（不與A、B重合），過M作MN∥BC交AC于點N，以MN為直徑作⊙O，設AM=x．
（1）用含x的代數式表示△AMN的面積S；
（2）M在AB上運動，當⊙O與BC相切時（如圖①），求x的值；
（3）M在AB上運動，當⊙O與BC相交時（如圖②），在⊙O上取一點P，使PM∥AC，連接PN，PM交BC于E，PN交BC于點F，設梯形MNFE的面積為y，求y關于x的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件證明△AMN∽△ABC（AA），然后根據相似三角形的對應邊成比例求得，然后由三角形的面積公式求得用x的代數式表示的△AMN的面積S；
（2）設BC與⊙O相切于點D，連接AO、OD，則AO=OD=MN．在直角三角形Rt△ABC中，根據勾股定理求得BC的值；然后根據相似三角形的性質求得OD；再過M作MQ⊥BC于Q，構建△BMQ∽△ABC，由相似三角形的對應邊成比例解得x的值；
（3）由已知條件證明四邊形AMPN是矩形，根據矩形的性質求得PN=AM=x；然后由平行四邊形BFNM的性質解得FN=8-x，PF=2x-8；最后利用相似三角形Rt△PEF∽Rt△ABC的性質求得S_△PEF值；最后利用“割補法”求得題型的面積．
解答：解：（1）∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C，
∴△AMN∽△ABC，
∴，即，
∴
∵AM⊥AN，
∴；

（2）設BC與⊙O相切于點D，連接AO、OD，則AO=OD=MN，
在Rt△ABC中，，
又∵△AMN∽△ABC，
∴，即，
∴，
∴；
過M作MQ⊥BC于Q，則；
則△BMQ∽△ABC，
∴，
∴；
∵，
∴；

（3）∵∠A=90°，PM∥AC，∠MPN=90°，
∴四邊形AMPN是矩形，
∴PN=AM=x；
又∵四邊形BFNM是平行四邊形，
∴FN=BM=8-x，PF=PN-FN=x-（8-x）=2x-8，
又Rt△PEF∽Rt△ABC，
∴，
∴，
∵S_△AMN=S_△PMN
∴（0≤x≤8）．
點評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理及切線的性質．解答此題時，還借用了直徑所對的圓周角是直角的性質．