Question

已知：如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于D，E是BC邊上的中點(diǎn)，連接DE，求證：DE與半圓O相切．

Answer 1

【答案】分析：連OD，OE，由E是BC邊上的中點(diǎn)，得到OE是△ABC的中位線，則OE∥AC，所以有∠1=∠3，∠2=∠A，而∠A=∠3，因此得到∠1=∠2，
再加上OD=OB，OE為公共邊，所以得到△OED≌△OEB，于是∠OED=∠OBE=90°．
解答：證明：連OD，OE，如圖，
∵E是BC邊上的中點(diǎn)，AB是半圓O的直徑，
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE∥AC，
∴∠1=∠3，∠2=∠A，而OD=OA，∠A=∠3，
∴∠1=∠2，
又∵OD=OB，OE為公共邊，
∴△OED≌△OEB，
∴∠ODE=∠OBE=90°．
∴DE與半圓O相切．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線的判定方法．經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線．當(dāng)已知直線過圓上一點(diǎn)，要證明它是圓的切線，則要連接圓心和這個(gè)點(diǎn)，證明這個(gè)連線與已知直線垂直即可；當(dāng)沒告訴直線過圓上一點(diǎn)，要證明它是圓的切線，則要過圓心作直線的垂線，證明垂線段等于圓的半徑．同時(shí)考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．