Question

如圖，已知CD是⊙O的直徑，AC⊥CD，垂足為C，弦DE∥OA，直線AE、CD相交于點B．
（1）求證：直線AB是⊙O的切線．
（2）當AC=1，BE=2，求tan∠OAC的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，由已知的平行，根據兩直線平行，同位角相等，內錯角也相等得到兩對角的相等，然后由半徑OD=OE，根據等角對等邊得到∠ODE=∠OED，等量代換得∠COA=∠EOA，再由半徑OC=OE，公共邊的相等，根據“SAS”證明△OAC≌△OAE，最后根據全等三角形的對應角相等得到OE⊥AB，利用經過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線可得證；
（2）由（1）證得的△OAC≌△OAE，根據全等三角形的對應邊相等得到AE=AC=1，再由已知的BE的長相加求出AB的長，然后在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出BC的長，再根據一對公共角的相等和一對直角的相等，得到△BOE∽△BAC，根據相似三角形的對應邊成比例即可得到的值，等量代換可得的值，即為tan∠OAC的值．
解答：（1）證明：如圖，連接OE，
∵DE∥OA，
∴∠COA=∠ODE，∠EOA=∠OED，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠COA=∠EOA，
又∵OC=OE，OA=OA，
∴△OAC≌△OAE，
∴∠OEA=∠OCA=90°，
∴OE⊥AB，
∴直線AB是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知△OAC≌△OAE，
∴AE=AC=1，AB=1+2=3，在直角△ABC中，，
∵∠B=∠B，∠BCA=∠BEO，
∴△BOE∽△BAC，
∴，
∴在直角△AOC中，tan∠OAC=．
點評：此題考查了切線的判定，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理的運用，以及銳角三角函數的定義，是一道多知識的綜合題，要求學生把所學的知識融匯貫穿，靈活運用．其中證明切線的方法一般有以下兩種：①有點連接證明半徑（或直徑）與所證的直線垂直；②無點作垂線，證明圓心到直線的距離等于半徑．