Question

（2013•武侯區一模）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD是BC邊上的高，點E、F分別是AB邊和AC邊上的動點，且∠EDF=90°．

（1）求DE：DF的值；
（2）連結EF，設點B與點E間的距離為x，△DEF的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，易證得△BED∽△AFD，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案；
（2）由勾股定理易得EF²=（3-x）²+（

4

3

x）²=

25

9

x²-6x+9，又由DE：DF=3：4，∠EDF=90°，即可求得答案．

解答：解：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD是BC邊上的高，
∴∠DAC+∠C=90°，
∴∠B=∠DAC
又∵∠EDF=90°，
∴∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
∴△BED∽△AFD，
∴

DE

DF

=

BD

AD

，…（2分）
∵tanB=

AD

BD

=

AC

AB

=

4

3

，
∴DE：DF=

3

4

；                 …（4分）

（2）由△BED∽△AFD，得

BE

AF

=

BD

AD

=

3

4

，
∴AF=

4

3

BE=

4

3

x，…（6分）
∵BE=x，
∴AE=3-x，
∵∠BAC=90°，
∴EF²=（3-x）²+（

4

3

x）²=

25

9

x²-6x+9，…（7分）
∵DE：DF=3：4，∠EDF=90°，
∴ED=

3

5

EF，FD=

4

5

EF，…（8分）
∴y=

1

2

ED•FD=

6

25

EF²，
∴y=

2

3

x²-

36

25

x+

54

25

（0≤x≤3）．               …（10分）

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理以及直角三角形的性質．此題難度較大，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．