Question

在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，將△ABD沿AB所在的直線折疊，使點D落在點E處；將△ACD沿AC所在的直線折疊，使點D落在點F處，分別延長EB、FC使其交于點M．
（1）判斷四邊形AEMF的形狀，并給予證明；
（2）若BD=2，CD=3，試求四邊形AEMF的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據折疊的性質可得到∠1=∠3，∠2=∠4，AE=AE，由∠BAC=45°可判斷出∠EAF的度數，進而可判斷出四邊形AEMF的形狀；
（2）由圖形翻折變換的性質可知，BE=BD，CF=CD，設正方形AEMF的邊長是x，在Rt△BMC中利用勾股定理可求出x的值，由正方形的面積公式即可求出其面積．
解答：解：（1）∵AD⊥BC△AEB是由△ADB折疊所得，
∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=90°，BE=BD，AE=AD
又∵△AFC是由△ADC折疊所得
∴∠2=∠4，∠F=∠ADC=90°，FC=CD，AF=AD
∴AE=AF
又∵∠1+∠2=45°，
∴∠3+∠4=45°，
∴∠EAF=90°，
∴四邊形AEMF是正方形．

（2）根據題意知：BE=BD，CF=CD
設正方形AEMF的邊長是x，
∴BM=x-2；   CM=x-3
在Rt△BMC中，由勾股定理得：
BC²=CM²+BM²，即（2+3）²=（x-3）²+（x-2）²，
解得x=6或x=-1（舍去），
∴EM=6，
∴S_{正方形AEMF}=EM²=6²=36．
故答案為：正方形，36．
點評：本題考查的是正方形的判定定理及性質、勾股定理、圖形翻折變換的性質，能根據題意畫出圖形是解答此題的關鍵．