Question

如圖（1），在地面A、B兩處測得地面上標桿PQ的仰角分別為30°、45°，且測得AB=3米，求標桿PQ的長
（2）在數學學習中要注意基本模型的應用，如圖（2），是測量不可達物體高度的基本模型：在地面A、B兩處測得地面上標桿PQ的仰角分別為α、β，且測得AB=a米．
設PQ=h米，由PA-PB=a可得關于h的方程

 

，解得h=

atanβ•tanα

tanβ-tanα

（3）請用上述基本模型解決下列問題：如圖3，斜坡AP的傾斜角為15°，在A處測得Q的仰角為45°，要測量斜坡上標桿PQ的高度，沿著斜坡向上走10米到達B，在B處測得Q的仰角為60°，求標桿PQ的高．（結果可含三角函數）

Answer 1

分析：（1）設標桿PQ長為x米，在RT△PAQ中求出AP，在RT△PBQ中求出BP，然后根據PA-PB=AB得出方程，解出即可．
（2）分別表示出PA、PB，然后代入PA-PB=a即可得出答案．
（3）過點Q作QD⊥AP于點D，根據圖形中的三角函數關系可表示出QD，繼而RT△QPD中可表示出PQ．

解答：解：（1）如圖1，設標桿PQ長為x米，
在RT△PAQ中，AP=

PQ

tan30°

=

3

x，
在RT△PBQ中，BP=

PQ

tan45°

=x
由PA-PB=AB，得

3

x-x=3，
解得x=

3 3 +3

2

≈4.1（3分）答：標桿PQ的長約為4.1；

（2）PA=

h

tanα

，PB=

h

tanβ

，
∴可得

h

tanα

-

h

tanβ

=a；

（3）過點Q作QD⊥AP于點D，

∠QAP=30°，∠QBP=45°，AB=10米，由（2）得，QD=

10tan30°•tan45°

tan45°-tan30°

在RT△QPD中，∠QPD=75°，
PQ=

QD

sin75°

=

10tan30°•tan45°

sin75°(tan45°-tan30°)

=

10 3

sin75°•(3- 3)

．

點評：本題考查解直角三角形的應用，難度較大，解答本題的關鍵是掌握各三角函數在直角三角形中的表示形式．