Question

（1）如圖，已知在正方形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，E是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，MN⊥DM且交∠CBE的平分線(xiàn)于N．試判定線(xiàn)段MD與MN的大小關(guān)系；
（2）若將上述條件中的“M是AB的中點(diǎn)”改為“M是AB邊上或AB延長(zhǎng)線(xiàn)上任意一點(diǎn)”，其余條件不變．試問(wèn)（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

證明：（1）取AD的中點(diǎn)H，連接HM，
∵四邊形ABCD是正方形，M為AB的中點(diǎn)，
∴BM=HD=AM=AH，
∴△AMH為等腰直角三角形，
∴∠DHM=135°，
而B(niǎo)N是∠CBE的平分線(xiàn)．
∴∠MBN=135°，
∴∠DHM=∠MBN，
又∵DM⊥MN，
∴∠NMB+∠AMD=90°，
又∵∠HDM+∠AMD=90°，
∴∠BMN=∠HDM，

∠HDM=∠BMN DH=MB ∠DHM=∠MBN

，
∴△DHM≌△MBN（ASA），
∴DM=MN；

（2）DM=MN仍成立．
如圖1，在AD上取一點(diǎn)H，使DH=MB，連接HM，
∵四邊形ABCD是正方形，BN平分∠CBE，DM⊥MN，
∴∠MBN=135°，
∵AH=AM，
∴∠AHM=45°
∴∠DHM=135°，
∠BMN+∠AMD=90°，∠HDM+∠AMD=90°，
∴∠BMN=∠HDM，
∴△DHM≌△MBN，
∴DM=MN．
如圖2，若點(diǎn)M在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，
則在AD延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)H，使DH=BM，連接HM．
∵DM⊥MN，即∠DMN=90°，
∴∠DMA+∠NME=90°，
又∵∠DMA+∠ADM=90°，
∴∠NME=∠ADM，
∴∠MDH=∠NMB（等角的鄰補(bǔ)角相等），
又∵BN為∠CBE的平分線(xiàn)，且∠CBE=90°，
∴∠NBM=45°，
∵AD=AB，DH=BM，
∴AD+DH=AB+BM，即AH=AM，且∠A=90°，
∴△AMH為等腰直角三角形，
∴∠MHD=45°，
∴∠MHD=∠NBM，
又∵DH=BM，∠MDH=∠NMB，
∴△DHM≌△MBN（ASA），
∴DM=MN．