Question

如圖，在△ABC中，D、E分別是AB和AC的中點，F是BC延長線上一點，DF平分CE于點G，CF=1，則BC=    ，△ADE與△ABC的周長之比為    ，△CFG與△BFD的面積之比為    ．

Answer 1

【答案】分析：通過全等三角形△DEG和△FCG，可得出CF=DE=1；根據DE是△ABC的中位線，可求出DE：BC=1：2，即相似三角形△ADE和ABC的相似比為1：2；由此可求出BC的長和△ADE、△ABC的周長比．由于EG=GC=AE，而△ADE和△DEG等高，因此它們的面積比等于底邊比，由此可求出△GED和△ADE的面積比，也就求出了△GED和四邊形ECBD的面積比，由于△BDF的面積正好等于四邊形BCED的面積，而△DEG和△GCF的面積相等，由此可求出△CFG和△BDF的面積比．
解答：解：∵D、E分別是AB和AC的中點
∴DE∥BC，DE=BC
∴△ADE∽△ABC，△GED≌△GCF
∴DE=CF=1
∴CF=BC，

∴△ADE與△ABC的周長之比為DE：BC=1：2；
∵△ADE與△ABC的面積之比為1：4；
∴△ADE與四邊形DECB的面積之比為1：3；
∵△ADE與△DEG的面積之比為2：1；
∴△CFG與△BFD的面積之比為1：6．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，要注意三角形面積比的求解方法，①相似三角形的面積比是相似比的平方；②若三角形的高相等，則面積比是兩個三角形的底邊比．