Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，且∠BCE=∠CAB，CE交AB的延長線于點E，AD⊥AB，交EC的延長線于點D．
（1）判斷直線DE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若CE=3，BE=2，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）因為C是圓O上的點，因此DE和圓的關系一定是相切或不相切，可連接OC，證OC是否垂直DE即可得出結論．根據等邊對等角可得出∠CAB=∠OCA=∠BCE，由于∠ACB=90°，將相等的角進行置換即可得出∠OCE=90度．由此可得出DE與圓相切．
（2）本題的關鍵是求出EA的長，根據切割線定理EC²=EB•EA，可求出AE的長，由于AD⊥AB，那么AD也是圓的切線，根據切線長定理DA=DC，那么可用CD表示出AD，DE，根據勾股定理即可求出CD的長．

解答：解：（1）直線DE與⊙O相切；
證明：如圖，連接OC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO．
∵∠BCE=∠CAB，
∴∠BCE=∠ACO．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠BCE+∠BCO=∠BCO+∠ACO=∠OCE=90°．
∴DE是⊙O的切線．

（2）∵EC是圓O的切線，
∴CE²=BE•AE．
∵CE=3，BE=2，
∴AE=

9

2

．
∵AD⊥AB，AB是⊙O的直徑，
∴DA是⊙O的切線．
∴AD=CD．
∵AD²+AE²=DE²，
∴CD²+（

9

2

）²=（CD+3）²，
∴CD=

15

8

．

點評：本題主要考查了切線的性質，切割線定理，切線長定理，勾股定理等知識點的綜合應用．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．