Question

（2010•婁底）如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2，DC=10，AD=BC=5，點M、N分別在AD、BC上運動，并保持MN∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂足分別為E、F．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）探究一：四邊形MNFE的面積有無最大值？若有，請求出這個最大值；若無，請說明理由；
（3）探究二：四邊形MNFE能否為正方形？若能，請求出正方形的面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求梯形ABCD的面積，需先求梯形的高，可作高根據勾股定理易求得；
（2）嘗試把四邊形MNFE的面積用二次函數的形式表達出來，再由二次函數的最值問題討論；
（3）在（2）的基礎上，使MN=ME，求解即可．
解答：解：（1）如圖，
過點A作AG⊥CD于G，過B作BQ⊥DC于Q，
則AG∥BQ，
∵AB∥DC，
∴四邊形AGQB是平行四邊形，
∴AB=GQ=2，AG=BQ，
由勾股定理得：DG=，CQ=，
∵AD=BC，AG=BQ，
∴DG=CQ=（10-2）÷2=4，
在Rt△ADG中，AG==3，
∴S_梯形ABCD=（2+10）×3÷2=18；

（2）設MN=x，AG與MN交于點O，
∵MN∥CD，
∴△AMO∽△ADG，
∴MO：DG=AO：AG，
即：=AO：3，
∴AO=，
∴OG=3-=，
∴S_矩形MNFE=x•=x-x²，
∵二次項系數小于0，
∴當x=5時，四邊形MNFE的面積有最大值：[4×（-）×0-（）²]÷[4×（-）]=；

（3）當MN=ME時，四邊形MNFE能為正方形．
由（2）可得，ME=OG=，
則==x，
解得x=，
此時，正方形MNFE的面積為：（）²=．
點評：此題考查了梯形的面積、二次函數的最值、正方形的判定等知識點，綜合性很強．