Question

如圖，Q為正方形ABCD的CD邊上一點，CQ=1，DQ=2，P為BC上一點，若PQ⊥AQ，則CP=

 

．

Answer 1

分析：證明△ADQ∽△QCP：已知的條件有∠C=∠D=90°，那么只要得出另外兩組對應角相等即可得出兩三角形相似，因為∠DQA+∠CQP=180°-90°=90°，而∠DAQ+∠DQA=90°，因此∠CQP=∠DAQ，那么就構成了兩三角形相似的條件；然后由相似三角形的對應邊成比例、正方形的四條邊都相等及已知條件CQ=1，DQ=2求解即可．

解答：解：∵PQ⊥AQ，
∴∠DQA+∠CQP=180°-90°=90°；
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAQ+∠DQA=90°，
∴∠CQP=∠DAQ，
∴ADQ∽△QCP，
∴

DQ

CP

=

AD

QC

；
∵CQ=1，DQ=2，
∴AD=DC=3；
∴CP=

2

3

；
故答案：

2

3

．

點評：本題主要考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質．在求相似比時，一定要找對相似三角形的對應邊．