Question

(本題12分)△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，關于x的方程x²－2ax＋b²=0的兩根為x₁、x₂，x軸上兩點M、N的坐標分別為（x₁，0）、（x₂，0），其中M的坐標是(a＋c，0)；P是y軸上一點，點。

1.(1)試判斷△ABC的形狀，并說明理由；

2.(2)若S_△MNP＝3S_△NOP，  ①求sinB的值； ②判斷△ABC的三邊長能否取一組適當的值，使△MND是等腰直角三角形？如能，請求出這組值；如不能，請說明理由．

 

Answer 1

 

1.解：(1)證明：∵點

     ∴              1分    ∴   ∴．    1分

   由勾股定理的逆定理得：

   為直角三角形且∠A＝90°

2.(2)解：①如圖所示；

∵

∴   即       1分

又  ∴ 

∴，是方程x²－2ax＋b²＝0的兩根

∴    ∴         1分

由(1)知：在中，∠A＝90°

由勾股定理得      ∴sinB＝        1分

  ② 能              1分

過D作DE⊥x軸于點    則NE＝EM  DN＝DM

要使為等腰直角三角形，只須ED＝MN＝EM

∵      ∴  

∴   又c＞0，∴c＝1              1分

由于c＝a   b＝a   ∴a＝ b＝             1分

∴當a＝，b＝，c＝1時，為等腰直角三角形   

解析:略