Question

（2011•三元區質檢）如圖甲，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx-3a經過A（-1，0）、B（0，3）兩點，與x軸交于另一點C，頂點為D．
（1）求點D的坐標；
（2）經過點B、D兩點的直線與x軸交于點E，若點F是拋物線上一點，以A、B、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，求點F的坐標；
（3）若平行于x軸的直線與拋物線交于G、H兩點，且GH為直徑的圓與x軸相切，求這個圓半徑的長；
（4）如圖乙，P（2，3）是拋物線上的點，Q是直線AP上方的拋物線上一動點，求△APQ的最大面積和此時Q點的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法將A（-1，0）、B（0，3）兩點的坐標代入拋物線y=ax²+bx-3a求出a、b的值就可以求出拋物線的解析式．然后化為頂點式就可以就可以求出其頂點D的坐標．
（2）根據點B的坐標，待定系數法即可求出直線BD的解析式，從而求出直線BD與x軸的交點E的坐標，就可以求出AE的長度，根據平行四邊形的性質就可以求出BF=2，知道F的橫坐標，代入拋物線的解析式就可以求出F的坐標．
（3）根據拋物線的對稱性和圓的而且顯性質，可以知道M的橫坐標，設出M的坐標，根據正方形的性質求出M的坐標，從而求出圓的半徑．
（4）設出Q點的坐標，作PS⊥x軸，QR⊥x軸于點S、R，則利用S_△PQA=S_{四邊形PSRQ}+S_△QRA-S_△PSA，就可以把其面積的表達式表示出來，最后化成頂點式就可以求出其最值和Q的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-3a經過A（-1，0）、B（0，3）兩點，
∴

0=a-b-3a 3=-3a

，解得：

a=-1 b=2

拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3
y=-（x-1）²+4
∴D（1，4）；

（2）∵四邊形AEBF是平行四邊形，
∴BF=AE．
∵B（0，3），
設直線BD的解析式為：y=kx+b，
則

3=b 4=k+b

，
解得

k=1 b=3

，
∴直線BD的解析式為：y=x+3
當y=0時，x=-3
∴E（-3，0），
∴OE=3，
∵A（-1，0）
∴OA=1，
∴AE=2
∴BF=2，
∴F的橫坐標為2，
∴y=3，
∴F（2，3）；

（3）設直徑為GH的⊙M切x軸于點N，連接MN，作HQ⊥x軸于Q，
∴MN⊥x軸，且MN=HM，
∴四邊形MNQH為正方形．由拋物線的對稱性得MH=MG，
∴M在拋物線的對稱軸上，設M（1，a），
∴H（a+1，a），
∴a=-（a+1）²+2（a+1）+3，解得：
a₁=

-1- 17

2

，a₂=

-1+ 17

2

．
∴這個圓半徑的長為：

-1+ 17

2

，

1+ 17

2

．

（4）如圖，設Q（a，-a²+2a+3），作PS⊥x軸，QR⊥x軸于點S、R，且P（2，3），
∴AR=a+1，QR=-a²+2a+3，PS=3，RS=2-a，
∴S_△PQA=S_{四邊形PSRQ}+S_△QRA-S_△PSA
=

(a+1)(-a2+2a+3)

2

+

(3-a2+2a+3) (2-a)

2

-

3×3

2

，
∴S_△PQA=-

3

2

（a-

1

2

）²+

27

8

，
∴當a=

1

2

時，S_△PQA的面積最大為

27

8

，
∴Q（

1

2

，

15

4

）．

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了待定系數法求拋物線的解析式，頂點坐標，平行四邊形的性質的運用，圓的切線的性質的運用，三角形的面積公式的計算．