Question

如圖，拋物線與x軸交于點A（﹣，0）、點B（2，0），與y軸交于點C（0，1），連接BC．

（1）求拋物線的函數關系式；

（2）點N為拋物線上的一個動點，過點N作NP⊥x軸于點P，設點N的橫坐標為t（﹣＜t＜2），求△ABN的面積S與t的函數關系式；

（3）若﹣＜t＜2且t≠0時△OPN∽△COB，求點N的坐標．

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，由題可得：

，

解得：，

∴拋物線的函數關系式為y=﹣x²+x+1；

（2）當﹣＜t＜2時，yN＞0，

∴NP==y_N=﹣t²+t+1，

∴S=AB•PN

=×（2+）×（﹣t²+t+1）

=（﹣t²+t+1）

=﹣t²+t+；

（3）∵△OPN∽△COB，

∴=，

∴=，

∴PN=2PO．

①當﹣＜t＜0時，PN==y_N=﹣t²+t+1，PO==﹣t，

∴﹣t²+t+1=﹣2t，

整理得：3t²﹣9t﹣2=0，

解得：t₁=，t₂=．

∵＞0，﹣＜＜0，

∴t=，此時點N的坐標為（，）；

②當0＜t＜2時，PN==y_N=﹣t²+t+1，PO==t，

∴﹣t²+t+1=2t，

整理得：3t²﹣t﹣2=0，

解得：t₃=﹣，t₄=1．

∵﹣＜0，0＜1＜2，

∴t=1，此時點N的坐標為（1，2）．

綜上所述：點N的坐標為（，）或（1，2）．