Question

如圖，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，EP⊥CD于點(diǎn)P，則∠FPC=（ ）

A．35°
B．45°
C．50°
D．55°

Answer 1

【答案】分析：延長(zhǎng)PF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．根據(jù)已知可得∠B，∠BEF，∠BFE的度數(shù)，再根據(jù)余角的性質(zhì)可得到∠EPF的度數(shù)，從而不難求得∠FPC的度數(shù)．
解答：解：延長(zhǎng)PF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
在△BGF與△CPF中，
，
∴△BGF≌△CPF，
∴GF=PF，
∴F為PG中點(diǎn)．
又∵由題可知，∠BEP=90°，
∴EF=PG（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∵PF=PG（中點(diǎn)定義），
∴EF=PF，
∴∠FEP=∠EPF，
∵∠BEP=∠EPC=90°，
∴∠BEP-∠FEP=∠EPC-∠EPF，即∠BEF=∠FPC，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=BC，∠ABC=180°-∠A=70°，
∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，
∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=（180°-70°）=55°，
∴∠FPC=55°．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的性質(zhì)的理解及運(yùn)用，靈活應(yīng)用菱形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．