Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC，以AB為直徑畫圓，交BC于D，交AC于E，過D作DF⊥CE，垂足為F．由上述條件（不另增字母或添線），請你寫出三個你認為是正確的結論（不要求證明）．
①

 

；
②

 

；
③

 

．

Answer 1

分析：根據圓周角定理可得∠ADB=90°，即AD⊥BC；
等腰△ABC中，根據等腰三角形三線合一的性質，可證得BD=DC，且∠BAD=∠CAD；
由圓內接四邊形的性質易知：∠DEC=∠B=∠C，因此△DEC也是等腰三角形，同上，也可證得EF=FC，∠FDE=∠CDF；而∠FDC=∠BAC，因此∠FDE=∠FDC=∠BAD=∠CAD；
在Rt△ACD中，DF⊥AC，易證得△CFD∽△CDA；同理可證得△CFD∽△DFA∽△BAD等．
本題可得出的結論較多，答案不唯一．

解答：解：∵AB為直徑，∴AD⊥BC；
△ABC中，AB=AC，AD⊥BC；
∴AD是底邊BC的中線，也是頂角∠BAC的角平分線；（等腰三角形三線合一）
∴BD=DC，∠BAD=∠DAC；①
∵AB=AC，
∴∠B=∠C；
∵四邊形ABDE是圓的內接四邊形，
∴∠DEC=∠B，∠EDC=∠BAC；
∴∠DEC=∠C；
∴DE=DC；又DF⊥CE，
∴∠EFD=FDC=

1

2

∠EDC=

1

2

∠BAC=∠BAD=∠CAD；②
∵∠FDC=∠DAC，∠DFC=∠ADC=90°，
∴△DFC∽△ADC；
同理可證得△EFD∽△ADF∽△ACD等．③

點評：本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質、相似三角形的判定和性質等知識的綜合應用．