Question

將一副三角板放在同一平面，使直角頂點重合于點O．
（1）如圖1，△BOD保持不動，把△AOC繞著點O旋轉，使得AO∥BD，求∠AOD的度數．
（2）當△AOC與△BOD重疊時，直接寫出∠AOB與∠DOC的大小關系．
（3）如圖1，若∠AOB=145°，求∠DOC的度數．你發現∠AOB與∠DOC存在怎樣的數量關系？用式子直接表示出來．
（4）如圖2，當△AOC與△BOD不重疊時，（3）中∠AOB與∠DOC關系式是否成立，請簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據平行線的性質得到∠AOB=180°-∠B=180°-30°=150°，再利用∠AOD=∠AOB-∠BOD進行計算即可；
（2）由∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠DOC=∠BOD-∠BOC易得∠AOB+∠DOC=180°；
（3）先計算出∠BOC=145°-90°=55°，再根據∠DOC=∠BOD-∠BOC=90°-55°=35°，則有∠AOB+∠DOC=180°；
（4）利用周角定義得∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，而∠AOC=∠BOD=90°，即可得到∠AOB+∠DOC=180°．

解答：解：（1）∵AO∥BD，
∴∠AOB=180°-∠B=180°-30°=150°，
而∠BOD=90°，
∴∠AOD=150°-90°=60°；
（2）∠AOB+∠DOC=180°；
（3）∵∠AOB=145°，
而∠AOC=90°，
∴∠BOC=145°-90°=55°，
∴∠DOC=∠BOD-∠BOC=90°-55°=35°；  
∠AOB與∠DOC存在的數量關系為：∠AOB+∠DOC=180°；
（4）∠AOB+∠DOC=180°仍然成立．
理由如下：∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，
又∵∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠AOB+∠DOC=180°．

點評：本題考查了角度的計算：利用幾何圖形計算角的和與差．