Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，F為對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線(xiàn)上．

（1）如圖①，若F為矩形對(duì)角線(xiàn)AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線(xiàn)上且BE＝AC，連接DE，M是DE的中點(diǎn)，連接BM，FM若AD＝6，FM＝，求線(xiàn)段AE的長(zhǎng)；

（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)F作FE⊥BD交AD于點(diǎn)H，交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接AF，當(dāng)FD＝FE時(shí)，求證：HA+AB＝AF．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)可得AC=BD，BF=DF，由中位線(xiàn)定理可得BE＝2MF，再由勾股定理可求AB的長(zhǎng)，即可求AE的長(zhǎng)；

（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AF交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，由“ASA”可證△EFN≌△DFA，可得∠DAF=∠N，AF=FN，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得AN= ，由“ASA”可證△AHF≌△NBF，可證AH=BN，即可得結(jié)論．

（1）∵四邊形ABCD是矩形

∴AC＝BD，BF＝DF，

∵M是DE的中點(diǎn)，BF＝DF，

∴BE＝2MF＝，

∵BE＝AC，AC＝BD

∴BD＝ ，

∴AB＝,

∴AE＝BE﹣AB＝3，

（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AF交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，

∵EF⊥DF，EA⊥AD，

∴∠E+∠AHE＝90°，∠ADF+∠DHF＝90°，

∴∠E＝∠ADF，

∵∠AFN＝∠EFD＝90°，

∴∠AFD＝∠EFN，且∠E＝∠ADF，且EF＝DF，

∴△EFN≌△DFA（ASA）

∴∠DAF＝∠N，AF＝FN，且∠AFN＝90°，

∴AN＝AF，

∵∠AFN＝∠EFB＝90°，

∴∠AFH＝∠BFN，且∠DAF＝∠N，AF＝FN，

∴△AHF≌△NBF（ASA），

∴AH＝BN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），

∵AN＝AF，

∴AB+BN＝AB+AH＝ AF，