Question

已知：拋物線經過A（2，0）、B（8，0）、C（0，）
（1）求：拋物線的解析式；
（2）設拋物線的頂點為P，把△APB翻折，使點P落在線段AB上（不與A、B重合），記作P′，折痕為EF，設AP′=x，PE=y，求y關于x的函數關系式，并寫出定義域；
（3）當點P′在線段AB上運動但不與A、B重合時，能否使△EFP′的一邊與x軸垂直？若能，請求出此時點P′的坐標；若不能，請你說明理由．

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-8）
把代入得a=
∴y=（x-2）（x-8）
即y=

（2）頂點P（5，-3
AP=AB=BP=6
∴∠PAP′=60°
作P′G⊥AP于G，
則AG=x，P′G=x
又P′E=PE=y，EG=6-x-y
在Rt△P′EG中，
∴y=（0＜x＜6）

（3）①若EP′⊥x軸，則6-y=2x，6-=2x，
x₁=12-6，x₂=12+6（舍去）
∴P′（，0）
②若FP′⊥x軸，則6-y=x，6-x，
x₃=6-6，x₄=-6-6（舍去）
∴P′（6-6，0）
③若EF⊥x軸，顯然不可能．
∴P′（，0）或P′（6-6，0）（+1分）
分析：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-8）將C點坐標代入即可求得拋物線的解析式；
（2）先求出P點坐標，在Rt△P′EG中，根據勾股定理便可求出y關于x的函數關系式；
（3）分別令EP′⊥x軸、FP′⊥x軸、EF⊥x軸進行分類討論，便可得出滿足題意得P點坐標．
點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和勾股定理等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合和分類討論等數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．