Question

已知：如圖①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D、E在斜邊AB上（不包括端點），且∠DCE=45°，AB=4．
（1）在圖中找出兩對相似三角形，并選取一對加以說明；
（2）若AE=x，BD=y，試寫出x與y的函數關系式并直接寫出x的取值范圍；
（3）試說明：線段DE、AD、EB總能構成一個直角三角形；
（4）已知：如圖②，等邊三角形ABC中，點D、E在邊AB上（不包括端點），且∠DCE=30°，請探索當線段AD、DE、EB構成一個等腰三角形時，直接寫出線段AD、DE、EB的比是多少？

Answer 1

分析：（1）由∠ACB=90°，AC=BC，可求得∠A、∠B的度數，利用兩對對應角相等的三角形相似可得到兩個三角形相似；
（2）利用兩對對應角相等得到△AEC∽△BCD，利用相似的性質：對應邊成比例，可得x、y的關系式；
（3）通過旋轉、全等可得與三邊等效的三邊能形成以90°的角，從而得到答案；
（4）利用旋轉及相似可得比例式，得到答案．

解答：解：（1）△AEC∽△CED，△AEC∽△BCD．
∵∠ACD+∠DCE=∠ACD+45°，
∴∠ACE=∠BDC，
∴△AEC∽△BCD；

（2）∵∠A=∠B=45°，∠AEC=∠DCB=45°+∠BCE，
∴△AEC∽△BCD，
∴BD•AE=AC²，
∴BD•AE=AC²=

1

2

×AB²=8，
y=

8

x

    （2＜x＜4）．

（3）證明如下：將△ABC繞點C順時針旋轉90°，
設E點對應點為E′，連接E′D，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴旋轉后B與A重合，
又∵∠DCE=45°，
∴∠E′CD′=45°，
又∵CE′=CE，CD為公共邊，
∴△CE′D≌△CED，
∴DE′=DE，
又∵∠E′AC=45°，∠CAD=45°，
∴∠E′AD=90°，
∴線段DE、AD、EA總能構成一個直角三角形；

（4）AD：DE：EB=1：

3

：1．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、旋轉的性質；三角形相似的判定時要首先思考能否用兩對對應角相等這一性質，然后再思考其它方法，注意旋轉的應用．