Question

【題目】如圖，經過點A（0，-6）的拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于B（-2，0），C兩點．

（1）求此拋物線的函數關系式和頂點D的坐標；

（2）將（1）中求得的拋物線向左平移1個單位長度，再向上平移m（m＞0）個單位長度得到新拋物線y1，若新拋物線y1的頂點P在△ABC內，求m的取值范圍；

（3）設點M在y軸上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，直接寫出AM的長．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式：y=x2-2x-6，頂點D（2，-8）；（2）3＜m＜8．（3）AM的長為4或2．

【解析】

試題（1）該拋物線的解析式中只有兩個待定系數，只需將A、B兩點坐標代入即可得解．

（2）首先根據平移條件表示出移動后的函數解析式，從而用m表示出該函數的頂點坐標，將其代入直線AB、AC的解析式中，即可確定P在△ABC內時m的取值范圍．

（3）先在OA上取點N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，顯然在y軸的正負半軸上都有一個符合條件的M點；以y軸正半軸上的點M為例，先證△ABN、△AMB相似，然后通過相關比例線段求出AM的長．

試題解析：（1）將A（0，-6）、B（-2，0）代入拋物線y=x2+bx+c中，得：

，

解得．

∴拋物線的解析式：y=x2-2x-6=（x-2）2-8，頂點D（2，-8）；

（2）由題意，新拋物線的解析式可表示為：y=（x-2+1）2-8+m，

即：y=（x-2+1）2-8+m．它的頂點坐標P（1，m-8）．

由（1）的拋物線解析式可得：C（6，0）．

∴直線AB：y=-3x-6；直線AC：y=x-6．

當點P在直線AB上時，-3-6=m-8，解得：m=-1；

當點P在直線AC上時，1-6=m-8，解得：m=3；

又∵m＞0，

∴當點P在△ABC內時，3＜m＜8．

（3）由A（0，-6）、C（6，0）得：OA=OC=6，且△OAC是等腰直角三角形．

如圖，在OA上取ON=OB=2，則∠ONB=∠ACB=45°．

∴∠ONB=∠NBA+∠OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，

即∠NBA=∠OMB．

如圖，在△ABN、△AM1B中，

∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，

∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=ANAM1；

由勾股定理，得AB2=（-2）2+（-6）2=40，

又∵AN=OA-ON=6-2=4，

∴AM1=40÷4=10，OM1=AM1-OA=10-6=4

OM2=OM1=4

AM2=OA-OM2=6-4=2．

綜上所述，AM的長為4或2．