Question

在平面直角坐標中，Rt△OAB的兩頂點A，B分別在y軸，x軸的正半軸上，點O是原點．其中點A（0，3），B（4，0），OC是Rt△OAB的高，點P以每秒1個單位長的速度在線段OB上由點O向點B運動（與端點不重合），過點P作PD⊥AP交AB于點D，設運動時間為t秒．
（1）若△AOE的面積為

3

2

，求點E的坐標；
（2）求證：△AOE∽△PBD；
（3）△PBD能否是等腰三角形？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由；
（4）當t=3時，直接寫出此時

AE

EP

的值．

Answer 1

（1）過點E作EF⊥OA于點F，
∵△AOE的面積為

3

2

，OA=3，
∴EF=1；
∵∠EOF=∠ABO=90°-∠BOC，
∠EFO=∠AOB=90°，
∴△OEF∽△BAO，

EF

AO

=

OF

BO

，即

1

3

=

OF

4

，所以OF=

4

3

，
∴點E的坐標為（1，

4

3

）．

（2）證明：∵Rt△OAB中，OC為斜邊AB邊上的高，
∴∠EOA+∠OAC=90°，∠DBP+∠OAC=90°，
∴∠EOA=∠DBP，
∴∠EOA=∠DBP=90°-∠BOC，
∠AEO=∠PDB=90°+∠PAB，
∴△AOE∽△PBD．

（3）△PBD可以是等腰三角形，
∵∠PDB=90°+∠PAB＞90°，
∴如果△PBD是等腰三角形，∠PDB只能頂角，即DP=DB，
當△PDB是等腰三角形，∵△AOE∽△PBD，
∴△AOE是等腰三角形，且EA=EO；
過點E作EF⊥AO于點F，則AF=OF=

3

2

；
∵△OEF∽△BAO，
∴

EF

AO

=

OF

BO

，即

EF

3

=

3 2

4

，所以EF=

9

8

，
∵△AFE∽△AOP，
∴

AF

AO

=

EF

PO

，即

3 2

3

=

9 8

t

，所以t=

9

4

，
∴當△PBD是等腰三角形時，t=

9

4

；

（4）當t=3時，

AE

EP

=

3

4

．