Question

【題目】若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，開口方向都相同，則稱這兩個(gè)二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”．

（1）請(qǐng)寫出兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)；

（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+2m2+5，其中y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），y3=y1+y2，若y3與y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達(dá)式，并求出當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y2的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2和y=2x2；（2）函數(shù)y2的表達(dá)式為y2=7x2-14x+7，當(dāng)0≤x≤3時(shí)，x=3時(shí)，y2的值最大，最大值=28．

【解析】

（1）只需任選一個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，同號(hào)兩數(shù)作為二次項(xiàng)的系數(shù)，用頂點(diǎn)式表示兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的表達(dá)式即可；

（2）由y1的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（1，1）可以求出m的值，然后根據(jù)y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”就可以求出函數(shù)y2的表達(dá)式，然后將函數(shù)y2的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

解：（1）二次函數(shù)y=x2和y=2x2是“同簇二次函數(shù)”；

（2）把A（1，1）代入y1=2x2-4mx+2m2+1得2-4m+2m2+1=1，解得m=1，

則y1=2x2-4x+3，y2=ax2+bx+7，

所以y3=y1+y2=（a+2）2+（b-4）x+10，

而y1=2x2-4x+3=2（x-1）2+1，即二次函數(shù)y1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），

因?yàn)?/span>y3與y1為“同簇二次函數(shù)”，

所以二次函數(shù)y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），

則a+2+b-4+10=1，-=1，解得a=7，b=-14，

所以函數(shù)y2的表達(dá)式為y2=7x2-14x+7，則拋物線y2的對(duì)稱軸為直線x=-=1，

當(dāng)0≤x≤3時(shí)，x=3時(shí)，y2的值最大，最大值=7×9-14×3+7=28．