Question

在正方形ABCD中，O是對角線AC的中點，P是對角線AC上的一動點，過點P作PF⊥CD于點F，如圖（1），當點P與點O重合時，顯然有DF=CF．如圖（2），若點P在線段AO上（不與點A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于點E，
（1）求證：DF=EF；
（2）求證：PC-PA=

2

CE．

Answer 1

分析：（1）要證明DF=EF，連接PD，證明PD=PE，利用等腰三角形的性質，底邊上三線合一，可以得出結論．
（2）由CE=CF-EF，又有PC和CF的關系、PA和EF的關系，結合到一起可以求解．

解答：證明：如圖①連接PD，∵四邊形ABCD是正方形，
AC平分∠BCD，CB=CD，△BCP≌△DCP
∴∠PBC=∠PDC，PB=PD
∵PB⊥PE，∠BCD=90°，
∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°
∵∠PEC+∠PED=180°，
∴∠PBC=∠PED，
∴∠PED=∠PBC=∠PDC，
∴PD=PE，
∵PF⊥CD，
∴DF=EF．

（2）如圖②，過點P作PH⊥AD于點H，
由（1）知：PA=

2

PH=

2

DF=

2

EF
PC=

2

CF
∴PC-PA=

2

（CF-EF），
即PC-PA=

2

CE．

點評：本題考查了正方形的性質，合理的作出輔助線，利用各邊之間的關系，通過轉換的思想求證．