Question

（2005•仙桃）如圖，已知直線y=-x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以OA為直徑作半圓，圓心為D．M是OB上一動點（不運動到O點、B點），過M點作半圓的切線交直線x=4于N，交AB于F，切點為P．連接DN交AB于E，連接DM．
（1）證明：∠OMD=∠ADN；
（2）設OM=x，AN=y，求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當以A、F、N為頂點的三角形與△ADE相似時，求直線MN的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線y=x+4與x軸、y軸相交于A、B兩點可以得出A，B的坐標，A的坐標是（4，0），易證AN為半圓D的切線，根據OM、MN、NA均為半圓D的切線，則∠1=∠2=∠OMN，∠MND=∠AND=∠3，有∠2+∠MND=90°，則∠MDN=90°∠4+∠MD0=90°，而∠1+∠MD0=90°，有∠1=∠4即∠0MD=∠ADN；
（2）由△DNO∽△NDA根據相似三角形的對應邊的比相等，可以得到；
（3）當以A、F、N為頂點的三角形與△ADE相似時，應分∠3=∠AED和∠3=∠4兩種情況討論．求出M，N的坐標，就可以根據待定系數法求函數解析式．
解答：解：（1）證明：連接ON．
∵直線y=x+4與x軸、y軸相交于A、B兩點，
∴OA=OB=4，
又∵直線x=4經過點（4，0）且垂直于x軸，
即直線AN經過A點，且垂直于OA，
∴AN為半圓D的切線，
∴AN∥OB，
∴∠OMN+∠3=180°，
又∵OM、MN、NA均為半圓D的切線，
∴∠1=∠2=∠OMN，∠MND=∠AND=∠3，
∴∠2+∠MND=90°，則∠MDN=90°，
∴∠4+∠MD0=90°，而∠1+∠MD0=90°，
∴∠1=∠4即∠0MD=∠ADN；

（2）解：由△DNO∽△NDA可得，=，即=，
∴y與x的函數解析式為y=（0＜x＜4）；

（3）解：當以A、F、N為頂點的三角形與△ADE相似時，則有：
①若∠3=∠AED，
在Rt△DNA中∠4+∠3=90°①
在△AEDK，∠4+∠AED=135°②
由②-①可得，∠AED=∠3=90°，
∴MN平行于是x軸，此時y=x=2，
∴直線NM的解析式為y=2；
②若∠3=∠4，
在Rt△DNA中∠4+∠3=90°，即2∠4+∠3=180°，
∴∠3=∠4=60°在Rt△DNA中，y=AN=AD•tan60°=2，
將y值代入解析式得x=，
∴M點坐標為（0，），N點坐標為（4，2），
由M、N兩點的坐標求得直線MN的解析式為y=x+，
∴直線MN的解析式為y=2或y=x+．
點評：本題主要考查了切線長定理，以及待定系數法求函數解析式．