Question

已知

a

1+a+ab

+

b

1+b+bc

+

c

1+c+ca

=1，求證：abc=1．

Answer 1

分析：設abc=k，ab+a+1=u，bc+b+1=v，ac+c+1=w，然后將各式分別乘以c、a、b可得出關系式，然后將所給分式兩邊同乘以uvw再得出一個關系式，從而聯立可得出答案．

解答：解：設abc=k，ab+a+1=u，bc+b+1=v，ac+c+1=w，
兩邊分別乘以c，a，b得：
abc+ca+c=cu，代入abc=k并根據ac+c+1=w得到：k-1+w=cu…（1）
abc+ab+a=av，代入abc=k并根據ab+a+1=u得到：k-1+u=av…（2）
abc+bc+b=bw，代入abc=k并根據bc+b+1=v得到：k-1+v=bw…（3）
已知：

a

u

+

b

v

+

c

w

=1，兩邊同乘以uvw得：avw+buw+cuv=uvw
（1）兩邊乘以v；（2）兩邊乘以w；（3）兩邊乘以u相加可得：
（k-1）（u+v+w）+uv+vw+uw=avw+buw+cuv=uvw…（4）
（1）×（2）×（3）三式得：（k-1+u）（k-1+v）（k-1+w）=abcuvw=kuvw，
∴（k-1）³+（u+v+w）（k-1）²+（uv+vw+uw）（k-1）-uvw（k-1）=0，
（k-1）[（k-1）²+（u+v+w）（k-1）+（uv+vw+uw）-uvw]=0，
與（4）比較可得：（k-1）³=0，
∴k=1，
即：abc=1．

點評：本題考查分式的化簡，難度較大，關鍵是設出abc=k，ab+a+1=u，bc+b+1=v，ac+c+1=w，注意在證明的時候要向結論靠攏．